Let z = t, où t est un nombre réel. C`est presque sous forme triangulaire. La troisième rangée dit maintenant z = 4. C`est ce qu`on appelle la matrice de coefficient du système. Ensuite, vous pouvez utiliser la substitution de retour à résoudre pour une variable à la fois en branchant les valeurs que vous connaissez dans les équations à partir du bas vers le haut. Il est assez facile de voir comment procéder dans ce cas. Il sera maintenant montré que pour toute valeur réelle de t, le vecteur x1 + t (x1 − x 2) est également une solution de A x = b; parce que t peut prendre sur infiniment beaucoup de valeurs différentes, la conclusion souhaitée suivra. L`objectif de ces opérations est de transformer — ou de réduire — la matrice augmentée d`origine en une des formes où A ′ est supérieur triangulaire (AIJ ′ = 0 pour i > j), toutes les lignes zéro apparaissent au bas de la matrice, et la première entrée non nulle dans n`importe quelle ligne est à droite de la première entrée différente de zéro dans une ligne supérieure; une telle matrice est dite sous forme d`échelon. Le point est que, dans ce format, le système est simple à résoudre.

Pour quelles valeurs de b 1, b 2 et b 3 le système A x = b sera-t-il cohérent? Let L être un opérateur différentiel linéaire; Ensuite, la solution générale d`une équation différentielle linéaire non homogène soluble, L (y) = d (où d ≢ 0), est égale à la solution générale de l`équation homogène correspondante, L (y) = 0, plus une solution particulière de l`équation non homogène. Le théorème C implique que la solution du système homogène correspondant est (où T1, T2, R), obtenue à partir de (*) par simple rejet de la soluttion particulière, x = (1/2, 1, 0,0), du système non homogène. Par exemple, le choix de t = 1 donne (x, y, z) = (− 4, 11, 1), tandis que t = 3 donne (x, y, z) = (4, − 9, − 3), et ainsi de suite. Vous devriez garder un œil sur ce genre de simplification. C`est-à-dire, si y = y h répreente la solution générale de L (y) = 0, alors y = y h + y représente la solution générale de L (y) = d, où y est une solution particulière de l`équation linéaire (soluble) non homogène L (y) = d. L`arrière ‐ substitution dans la première rangée (c`est-à-dire dans l`équation qui représente la première rangée) donne x = 2 et, par conséquent, la solution au système: (x, y) = (2, 1). Nous avons maintenant éliminé le terme x des deux dernières équations. Aucune équation n`est résolue pour une variable, ainsi je devrai faire la chose de multiplication-et-addition pour simplifier ce système. Une fois que cette variable finale est déterminée, sa valeur est remplacée dans les autres équations afin d`évaluer les inconnues restantes.

Les objectifs de l`élimination gaussienne sont de faire l`élément de coin supérieur gauche un 1, utiliser des opérations de ligne élémentaires pour obtenir 0s dans toutes les positions sous ce premier 1, obtenir 1s pour les coefficients de tête dans chaque ligne diagonalement de l`angle supérieur gauche vers le coin inférieur droit, et obtenir 0s sous tous les principaux coefficients.

Méthode de gauss exemple